۱_ حسین و حسین مقدار عددی عبارت جبری زیر را به ازای $s=۶$ و $t=۳$ محاسبه کرده‌اند؛ کدام یک پاسخ را درست به دست آورده است؟ دلیل خود را بنویسید.
$$۳(t+۲۷ \div s)$$
برای پیدا کردن پاسخ صحیح، باید **ترتیب انجام عملیات** ریاضی (اول پرانتز، داخل پرانتز اول تقسیم و ضرب، سپس جمع و تفریق) را رعایت کنیم.
**تحلیل راه‌حل‌ها:**
توجه: به نظر می‌رسد هر دو دانش‌آموز به اشتباه مقادیر $t=۶$ و $s=۳$ را جایگذاری کرده‌اند. ما محاسبات آنها را بر اساس همین اشتباه بررسی می‌کنیم.
- **عبارت با جایگذاری اشتباه:** $۳(۶+۲۷ \div ۳)$
- **راه‌حل حسین اول:** او ابتدا $۶$ را با $۲۷$ جمع کرده ($۳۳$) و سپس بر $۳$ تقسیم کرده است. این کار اشتباه است زیرا **تقسیم بر جمع اولویت دارد**.
- **راه‌حل حسین دوم:** او ابتدا $۲۷$ را بر $۳$ تقسیم کرده ($۹$) و سپس حاصل را با $۶$ جمع کرده است ($۱۵$) و در نهایت در $۳$ ضرب کرده است. این روش صحیح است.
**نتیجه:**
**پاسخ حسین دوم ($۴۵$)** از نظر روش محاسبه صحیح است، زیرا او ترتیب درست عملیات ریاضی را رعایت کرده است.
---
**محاسبه پاسخ کاملاً صحیح با مقادیر اصلی ($t=۳, s=۶$):**
$$۳(۳ + ۲۷ \div ۶) = ۳(۳ + ۴.۵) = ۳(۷.۵) = ۲۲.۵$$
۲_ مقدار عددی عبارت را به ازای $a=۲$ به دست آورید.
$$\frac{۴a-۱}{۱۰+۲a}=$$
برای پیدا کردن مقدار عددی این عبارت کسری، عدد $۲$ را به جای متغیر $a$ در صورت و مخرج کسر قرار می‌دهیم و سپس هر قسمت را جداگانه محاسبه می‌کنیم.
۱. **جایگذاری مقدار $a=۲$:**
$$\frac{۴(۲)-۱}{۱۰+۲(۲)}$$
۲. **محاسبه صورت کسر:**
$$۴(۲) - ۱ = ۸ - ۱ = ۷$$
۳. **محاسبه مخرج کسر:**
$$۱۰ + ۲(۲) = ۱۰ + ۴ = ۱۴$$
۴. **نوشتن کسر نهایی و ساده‌سازی:**
عبارت ما به کسر $\frac{۷}{۱۴}$ تبدیل می‌شود که پس از ساده کردن (تقسیم صورت و مخرج بر ۷)، برابر با $\frac{۱}{۲}$ است.
**پاسخ نهایی:** $\frac{۱}{۲}$ یا $۰.۵$
۳_ مستطیل مقابل را در نظر بگیرید.
الف) یک عبارت جبری برای پیدا کردن مساحت آن بنویسید.
ب) اگر $n=۴$ باشد، مساحت مستطیل را پیدا کنید.
این سوال شامل نوشتن عبارت جبری برای مساحت و سپس محاسبه مقدار عددی آن است. 📐
**الف) عبارت جبری برای مساحت:**
مساحت مستطیل ($S$) از حاصل‌ضرب طول در عرض به دست می‌آید.
- **عرض:** $n$
- **طول:** $۲n+۳$
بنابراین، عبارت جبری برای مساحت به صورت زیر است:
$$S = n \times (۲n+۳)$$
که با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، می‌توان آن را به صورت $S = ۲n^۲ + ۳n$ نیز نوشت.
**ب) محاسبه مساحت برای $n=۴$:**
مقدار $n=۴$ را در عبارت جبری که در قسمت (الف) پیدا کردیم، جایگذاری می‌کنیم:
$$S = ۴ \times (۲(۴)+۳)$$
$$S = ۴ \times (۸+۳)$$
$$S = ۴ \times (۱۱) = ۴۴$$
اگر $n=۴$ باشد، مساحت مستطیل **۴۴** واحد مربع است.
۴_ مقدار عددی عبارت زیر را به ازای $x=۳$ و $y=۴$ به دست آورید.
$$x(y \cdot y - ۸) \div ۱۲=$$
برای محاسبه مقدار این عبارت، مقادیر داده شده $x=۳$ و $y=۴$ را در آن جایگذاری کرده و سپس با رعایت **ترتیب انجام عملیات** (پرانتز، توان، ضرب و تقسیم، جمع و تفریق) آن را حل می‌کنیم.
۱. **جایگذاری مقادیر:**
$$۳ \times (۴ \times ۴ - ۸) \div ۱۲$$
۲. **محاسبه داخل پرانتز (اول ضرب):**
$$۳ \times (۱۶ - ۸) \div ۱۲$$
۳. **ادامه محاسبه داخل پرانتز:**
$$۳ \times (۸) \div ۱۲$$
۴. **انجام ضرب و تقسیم از چپ به راست:**
- ابتدا ضرب: $۳ \times ۸ = ۲۴$
- سپس تقسیم: $۲۴ \div ۱۲ = ۲$
**پاسخ نهایی:** مقدار عددی عبارت برابر با **۲** است.
مقدار عددی عبارت جبری زیر را به ازای $x=۲$ و $y=۳$ پیدا کنید.
اکنون ابتدا عبارت جبری را ساده کنید؛ سپس مقدار آن را به ازای عددهای داده شده، پیدا کنید.
از مقایسهٔ جواب‌ها چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
این مسئله را به دو روش حل می‌کنیم تا نتایج را مقایسه کنیم.
**روش اول: جایگذاری مستقیم**
مقادیر $x=۲$ و $y=۳$ را مستقیماً در عبارت $۳(۲x-۳y)-۵(x-۲y)$ قرار می‌دهیم:
$$۳(۲(۲)-۳(۳)) - ۵(۲-۲(۳))$$
$$= ۳(۴-۹) - ۵(۲-۶)$$
$$= ۳(-۵) - ۵(-۴)$$
$$= -۱۵ - (-۲۰) = -۱۵ + ۲۰ = ۵$$
---
**روش دوم: ساده‌سازی و سپس جایگذاری**
ابتدا عبارت جبری را با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری و جمع جملات متشابه، ساده می‌کنیم:
$$۳(۲x-۳y) - ۵(x-۲y)$$
$$= (۶x-۹y) - (۵x-۱۰y)$$
$$= ۶x - ۹y - ۵x + ۱۰y$$
$$= (۶x-۵x) + (-۹y+۱۰y) = x+y$$
حالا مقادیر $x=۲$ و $y=۳$ را در عبارت ساده شده ($x+y$) قرار می‌دهیم:
$$۲ + ۳ = ۵$$
---
**مقایسه و نتیجه‌گیری:**
هر دو روش به جواب یکسان **۵** رسیدند. از این مقایسه نتیجه می‌گیریم که **ساده کردن عبارت جبری قبل از جایگذاری مقادیر، معمولاً محاسبات را بسیار آسان‌تر و سریع‌تر می‌کند** و احتمال خطا را کاهش می‌دهد.
